Un nuevo método de IA resuelve uno de los problemas matemáticos más complejos

Investigadores de la Universidad de Pennsylvania presentaron un nuevo enfoque en el uso de la inteligencia artificial (IA) para abordar uno de los desafíos más complejos en matemáticas: las ecuaciones parciales diferenciales inversas (PDEs). Estas ecuaciones son fundamentales para comprender sistemas complejos, pero su resolución ha superado durante mucho tiempo los límites de las matemáticas y la computación.

La solución propuesta, denominada "Capas de Mollifier", mejora la forma en que la IA maneja estos problemas, refinando la matemática detrás del proceso en lugar de simplemente aumentar la potencia computacional. Este enfoque podría tener aplicaciones significativas, desde decodificar la actividad genética hasta mejorar las predicciones meteorológicas.

"Resolver un problema inverso es como observar las ondas en un estanque y trabajar hacia atrás para averiguar dónde cayó la piedra", explicó Vivek Shenoy, profesor distinguido en Ciencias de Materiales y autor principal de un estudio publicado en Transactions on Machine Learning Research, que se presentará en la Conferencia sobre Sistemas de Procesamiento de Información Neural (NeurIPS 2026). "Puedes ver los efectos claramente, pero el verdadero desafío es inferir la causa oculta".

En lugar de depender de hardware más potente, los investigadores se centraron en mejorar la matemática subyacente. Vinayak Vinayak, candidato a doctorado en Ciencias de Materiales y coautor del estudio, señaló: "La IA moderna a menudo avanza aumentando la computación, pero algunos desafíos científicos requieren mejor matemática, no solo más computación".

Importancia de las PDEs Inversas en la Ciencia

Las ecuaciones diferenciales son la columna vertebral de la modelación científica. Describen cómo los sistemas cambian con el tiempo, ya sea el crecimiento poblacional, el flujo de calor o las reacciones químicas. Las PDEs capturan cómo los sistemas evolucionan tanto en el espacio como en el tiempo, siendo utilizadas para estudiar desde patrones meteorológicos hasta cómo se organiza el ADN dentro de las células.

Las PDEs inversas permiten a los científicos comenzar con datos observados y trabajar hacia atrás para descubrir las fuerzas ocultas que impulsan esas observaciones. "Durante años, hemos utilizado estas ecuaciones para estudiar cómo el cromatina, que es el estado plegado del ADN dentro del núcleo, se organiza dentro de las células vivas", comentó Shenoy. "Pero nos encontrábamos con el mismo problema: podíamos ver las estructuras y modelar su formación, pero no podíamos inferir de manera confiable los procesos epigenéticos que impulsan este sistema".

Repensando cómo la IA maneja matemáticas complejas

Un concepto clave detrás de estas ecuaciones es la diferenciación, que mide cómo algo cambia. Las derivadas simples muestran qué tan rápido algo aumenta o disminuye, mientras que las derivadas de orden superior capturan patrones más intrincados.

Tradicionalmente, los sistemas de IA calculan estas derivadas utilizando un proceso denominado diferenciación automática recursiva. Este método calcula repetidamente los cambios a medida que los datos se mueven a través de una red neuronal, que es la base de la IA moderna. Sin embargo, este enfoque enfrenta dificultades al lidiar con sistemas complejos y datos ruidosos, volviéndose inestable y demandando enormes recursos computacionales.

Los investigadores compararon esta situación con el hecho de acercarse repetidamente a una línea rugosa y dentada. Cada paso amplifica las imperfecciones, haciendo que el resultado final sea menos confiable. Para superar esto, el equipo se dio cuenta de que necesitaba una forma de suavizar los datos antes de analizarlos.

Las Capas de Mollifier ofrecen una solución más inteligente

La respuesta provino de un concepto introducido en la década de 1940 por el matemático Kurt Otto Friedrichs, quien describió los "mollifiers", herramientas diseñadas para suavizar funciones irregulares o ruidosas. Adaptando esta idea, los investigadores crearon una "capa de mollifier" dentro de los modelos de IA, que suaviza los datos de entrada antes de calcular cambios, evitando la inestabilidad causada por los métodos tradicionales.

Los resultados fueron sorprendentes. El nuevo método redujo el ruido y disminuyó significativamente el costo computacional necesario para resolver estas ecuaciones. Implementar una "capa de mollifier", que suavizaba la señal antes de medirla, disminuyó radicalmente tanto la ruidosa como el consumo de energía. "Eso nos permitió resolver estas ecuaciones de manera más confiable, sin la misma carga computacional", afirmó Bhartari.

Desbloqueando los secretos de la organización del ADN

Una de las aplicaciones más prometedoras de este enfoque radica en comprender el cromatina, la compleja estructura de ADN y proteínas dentro de las células. Estas estructuras operan a una escala increíblemente pequeña, pero desempeñan un papel importante en determinar cómo se activan o desactivan los genes.

"Estos dominios tienen solo 100 nanómetros de tamaño", dijo Shenoy, "pero dado que la accesibilidad determina la expresión génica, y la expresión génica rige la identidad celular, la función, el envejecimiento y la enfermedad, estos dominios juegan un papel crítico en la biología y la salud".

Al estimar las tasas de reacciones epigenéticas, que controlan la actividad génica, el nuevo método de IA podría ayudar a los científicos a pasar de simplemente observar el cromatina a predecir cómo cambia con el tiempo.

"Si podemos rastrear cómo evolucionan estas tasas de reacción durante el envejecimiento, el cáncer o el desarrollo", agregó Vinayak, "esto crea la posibilidad de nuevas terapias: si las tasas de reacción controlan la organización del cromatina y el destino celular, entonces alterar esas tasas podría redirigir las células a estados deseados".

Más allá de la biología: impacto científico de amplio alcance

Las posibles aplicaciones de las capas de mollifier se extienden mucho más allá de la genética. Muchas áreas de la ciencia, incluida la investigación de materiales y la dinámica de fluidos, involucran ecuaciones complejas y datos ruidosos. Este nuevo marco podría proporcionar una forma más estable y eficiente de descubrir parámetros ocultos en una amplia variedad de sistemas.

Los investigadores consideran esto como un paso hacia un objetivo más grande: transformar observaciones en una comprensión más profunda. "En última instancia, el objetivo es pasar de observar patrones complejos a descubrir cuantitativamente las reglas que los generan", concluyó Shenoy. "Si entiendes las reglas que gobiernan un sistema, ahora tienes la posibilidad de cambiarlo".

Este estudio fue realizado en la Universidad de Pennsylvania y recibió apoyo del Instituto Nacional del Cáncer (NCI) y otras instituciones.

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