La fórmula de pi de Ramanujan, un siglo después, revela secretos del universo

La constante irracional π (pi), comúnmente aproximada como 3.14 y que se extiende infinitamente sin repetirse, es un concepto familiar para muchos desde la escuela. Sin embargo, en las últimas décadas, los avances en computación han llevado este número más allá del aula, con supercomputadoras que lo calculan hasta trillones de decimales.

Recientemente, investigadores del Centro de Física de Altas Energías (CHEP) del Instituto Indio de Ciencia (IISc) han descubierto un giro inesperado. Las fórmulas matemáticas desarrolladas hace un siglo por el renombrado matemático indio Srinivasa Ramanujan para calcular pi están estrechamente vinculadas a algunas de las ideas más importantes en la física fundamental actual. Estas conexiones se manifiestan en descripciones teóricas de fenómenos como la percolación, la turbulencia de fluidos e incluso ciertas características de los agujeros negros.

Las notables fórmulas de Ramanujan

En 1914, poco antes de dejar Madras para ir a Cambridge, Ramanujan publicó un artículo que presentaba 17 fórmulas diferentes para calcular pi. Estas expresiones eran sorprendentemente eficientes, permitiendo calcular pi mucho más rápido que las técnicas existentes en ese momento. A pesar de contener solo un pequeño número de términos matemáticos, las fórmulas producían una cantidad impresionante de dígitos precisos.

Su impacto ha perdurado a lo largo del tiempo. Los métodos de Ramanujan se convirtieron en fundamentales para los enfoques matemáticos y computacionales modernos para calcular pi, incluidos los utilizados por las máquinas más avanzadas de hoy. "Los científicos han calculado pi hasta 200 billones de dígitos utilizando un algoritmo llamado el algoritmo de Chudnovsky", afirmó Aninda Sinha, profesor en CHEP y autor principal del estudio. "Estos algoritmos se basan en el trabajo de Ramanujan."

Una pregunta más profunda detrás de las matemáticas

Para Sinha y Faizan Bhat, primer autor del estudio y exestudiante de doctorado en IISc, el misterio iba más allá de la eficiencia computacional. Se preguntaron por qué existían fórmulas tan poderosas en primer lugar. En lugar de tratarlas como resultados puramente abstractos, el equipo buscó una explicación arraigada en la física.

"Queríamos ver si el punto de partida de sus fórmulas encajaba naturalmente en alguna física", comentó Sinha. "En otras palabras, ¿hay un mundo físico donde las matemáticas de Ramanujan aparecen por sí solas?"

Donde pi se encuentra con la invariancia de escala y los extremos de la física

Su investigación los llevó a una amplia familia de teorías conocidas como teorías de campos conformes, y más específicamente a teorías de campos conformes logarítmicas. Estas teorías describen sistemas que exhiben simetría de invariancia de escala, lo que significa que se ven iguales independientemente de cuán de cerca se examinen, similar a los fractales.

Un ejemplo físico familiar aparece en el punto crítico del agua, definido por una temperatura y presión precisas en las que el agua líquida y el vapor de agua se vuelven indistinguibles. En este punto, el agua muestra simetría de invariancia de escala, y su comportamiento puede ser capturado utilizando la teoría de campos conformes. Un comportamiento crítico similar surge en la percolación (cómo las sustancias se propagan a través de un material), durante el inicio de la turbulencia en fluidos y en ciertos tratamientos teóricos de agujeros negros. Estos fenómenos caen dentro del dominio de las teorías de campos conformes logarítmicas.

Usando la estructura de Ramanujan para resolver problemas de física

Los investigadores descubrieron que el marco matemático en el corazón de las fórmulas de pi de Ramanujan también aparece en las ecuaciones subyacentes a estas teorías de campos conformes logarítmicas. Al aprovechar esta estructura compartida, pudieron calcular cantidades clave dentro de las teorías de manera más eficiente. Tales cálculos podrían, en última instancia, mejorar la comprensión de los científicos sobre procesos complejos como la turbulencia y la percolación.

El enfoque refleja el propio método de Ramanujan de partir de una expresión matemática compacta y llegar rápidamente a resultados precisos para pi. "[En] cualquier pieza de hermosa matemática, casi siempre se encuentra que hay un sistema físico que realmente refleja las matemáticas", afirmó Bhat. "La motivación de Ramanujan podría haber sido muy matemática, pero sin su conocimiento, también estaba estudiando agujeros negros, turbulencia, percolación, todo tipo de cosas."

Una visión centenaria con impacto moderno

Los hallazgos revelan que las fórmulas de Ramanujan, desarrolladas hace más de 100 años, ofrecen una ventaja previamente oculta para hacer que los cálculos de física de altas energías modernos sean más rápidos y manejables. Más allá de su valor práctico, los investigadores afirman que el trabajo destaca el extraordinario alcance de las ideas de Ramanujan.

"Simplemente nos fascinó la forma en que un genio que trabajaba en la India a principios del siglo XX, con casi ningún contacto con la física moderna, anticipó estructuras que ahora son centrales para nuestra comprensión del universo", concluyó Sinha.

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