Un AI desbarata una conjetura matemática de 87 años con una fórmula sorprendentemente simple

El reciente hallazgo de un matemático de Anthropic ha generado un revuelo en la comunidad matemática. Utilizando el modelo de inteligencia artificial Claude Fable 5, logró descubrir un contraejemplo a la conjetura de Jacobian, un problema que ha desafiado a matemáticos durante más de un siglo. Este resultado revela que la conjetura es falsa en tres dimensiones y en cualquier dimensión superior, mientras que la versión original en dos dimensiones permanece sin resolver.

El matemático Levent Alpöge hizo un anuncio casual en X, revelando su descubrimiento. Este avance se suma a otros logros notables realizados por matemáticos que trabajan con modelos de lenguaje de gran tamaño, pero este caso destaca por su simplicidad.

¿Qué es la conjetura de Jacobian?

Para entender la conjetura, es necesario aclarar qué es una conjetura. Se trata de una afirmación que algunos matemáticos consideran verdadera, pero que no ha sido probada ni refutada. La conjetura de Jacobian se refiere a funciones que transforman números según ciertas reglas, específicamente utilizando polinomios.

La conjetura sostiene que si el determinante de Jacobian de una función es un número constante no nulo, debería existir otra función, también polinómica, que revierta la transformación y devuelva todos los puntos a su posición original. Sin embargo, no todas las funciones son reversibles.

Un largo camino de intentos fallidos

La conjetura fue formulada por primera vez por el matemático checo Ludwig Kraus en 1884 y generalizada por el alemán Ott-Heinrich Keller en 1939. A pesar de numerosos intentos de prueba, incluidos algunos por matemáticos renombrados como Beniamino Segre y Wolfgang Gröbner, siempre se encontraron errores que invalidaron sus argumentos.

A pesar de estos fracasos, ha habido esfuerzos válidos que han demostrado que la conjetura es verdadera bajo ciertas restricciones. Resultados computacionales también han confirmado su validez en dos dimensiones para polinomios de hasta grado 100.

Un contraejemplo sorprendentemente simple

Lo fascinante de la conjetura de Jacobian es que, en teoría, debería ser fácil encontrar un contraejemplo. Sin embargo, la dificultad radica en hallar un mapeo polinómico que cumpla con ambas propiedades: tener un determinante de Jacobian constante y fusionar puntos.

El descubrimiento de Alpöge consistió en una función en tres dimensiones con un determinante de Jacobian constante de -2, que mueve múltiples puntos de entrada a un único punto de salida, lo que la hace no reversible. Este hallazgo demuestra que la conjetura es falsa para todas las dimensiones mayores a dos.

Un avance en una serie de descubrimientos

Este descubrimiento se suma a una serie de avances matemáticos impulsados por modelos de lenguaje, como la refutación de la conjetura de distancia unitaria por parte de OpenAI y la prueba del problema 1196 de Erdos por un matemático amateur. Estos ejemplos destacan la capacidad de los modelos de IA para combinar ideas de diferentes áreas de las matemáticas y producir resultados sorprendentes.

Hasta el momento, no se han revelado detalles sobre cómo Alpöge utilizó el modelo de IA para generar el contraejemplo a la conjetura de Jacobian. Sin embargo, su resultado es notable por su simplicidad, lo que sugiere que la IA podría ser tan valiosa para descubrir objetos matemáticos inesperados como para construir pruebas. El impacto de este avance en el futuro de las matemáticas y de los matemáticos humanos sigue siendo incierto.